1. Análisis del problema:
La integral presenta una expresión racional con un radical en el denominador. Para resolverla, buscaremos una sustitución que simplifique la expresión o utilizaremos el método de completar cuadrados.

2. Transformación de la expresión:
Completamos el cuadrado en el trinomio del denominador:
$$ x^2 + 4x + 1 = (x + 2)^2 - 4 + 1 = (x + 2)^2 - 3 $$
Sin embargo, observemos si una sustitución directa de la forma $u = \frac{ax+b}{\sqrt{x^2+4x+1}}$ simplifica el problema. Probemos derivando la opción (b) para verificar si es la antiderivada:
$$ \frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{(x^2 + 4x + 1)^{1/2}} \right] = \frac{1 \cdot (x^2+4x+1)^{1/2} - x \cdot \frac{1}{2}(x^2+4x+1)^{-1/2}(2x+4)}{x^2+4x+1} $$
Factorizando $(x^2+4x+1)^{-1/2}$:
$$ \frac{(x^2+4x+1) - x(x+2)}{(x^2+4x+1)^{3/2}} = \frac{x^2+4x+1-x^2-2x}{(x^2+4x+1)^{3/2}} = \frac{2x+1}{(x^2+4x+1)^{3/2}} $$

3. Conclusión:
La derivada de la función en la opción (b) coincide exactamente con el integrando. Por lo tanto, la integral es:
$$ \boxed{\left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4x + 1}} \right) + c} $$
Respuesta correcta: b.