1. Datos del problema:
Se nos pide hallar los coeficientes $A$ y $B$ resultantes de la integración de una función trigonométrica.

2. Propiedades usadas:

• Identidad de la suma de ángulos: $\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$.


• Integral básica: $\int dx = x + c$.


• Integral logarítmica: $\int \cot(u) du = \log|\sin u| + c$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para resolver la integral $I = \int \frac{\sin x}{\sin(x - \alpha)} dx$, realizamos un ajuste en el numerador escribiendo $x = (x - \alpha) + \alpha$:
$$ I = \int \frac{\sin((x - \alpha) + \alpha)}{\sin(x - \alpha)} dx $$
Aplicamos la identidad del seno de una suma en el numerador:
$$ I = \int \frac{\sin(x - \alpha)\cos \alpha + \cos(x - \alpha)\sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} dx $$
Dividimos la fracción en dos términos:
$$ I = \int \left( \frac{\sin(x - \alpha)\cos \alpha}{\sin(x - \alpha)} + \frac{\cos(x - \alpha)\sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} \right) dx $$
Simplificando:
$$ I = \int (\cos \alpha + \sin \alpha \cot(x - \alpha)) dx $$
Como $\alpha$ es una constante, integramos término a término:
$$ I = (\cos \alpha)x + (\sin \alpha) \log|\sin(x - \alpha)| + c $$
Comparando con la forma dada $Ax + B \log|\sin(x - \alpha)| + c$, obtenemos:
$$ A = \cos \alpha, \quad B = \sin \alpha $$

4. Conclusión:
Los valores corresponden a las opciones (c) y (d).
$$ \boxed{A = \cos \alpha, B = \sin \alpha} $$