Ii
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_341
Guía
Enunciado
Calcular la integral:
$$ \int \left( \frac{1}{x} \log\left(\frac{x}{e^x}\right) \right) \, dx $$
(a) $\frac{1}{2} e^x - \ln x + c$ \\
(b) $\frac{1}{2} \ln x - e^x + c$ \\
(c) $\frac{1}{2} \ln^2 x - x + c$ \\
(d) None.
$$ \int \left( \frac{1}{x} \log\left(\frac{x}{e^x}\right) \right) \, dx $$
(a) $\frac{1}{2} e^x - \ln x + c$ \\
(b) $\frac{1}{2} \ln x - e^x + c$ \\
(c) $\frac{1}{2} \ln^2 x - x + c$ \\
(d) None.
Solución Paso a Paso
1. Simplificación del logaritmo:
Usamos propiedades: $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ y $\ln(e^x) = x$.
$$ \frac{1}{x} \ln\left(\frac{x}{e^x}\right) = \frac{1}{x} (\ln x - x) = \frac{\ln x}{x} - 1 $$
2. Integración:
$$ I = \int \left( \frac{\ln x}{x} - 1 \right) \, dx = \int \frac{\ln x}{x} \, dx - \int 1 \, dx $$
Para el primer término, sea $u = \ln x, du = \frac{1}{x}dx$:
$$ \int u \, du = \frac{u^2}{2} = \frac{\ln^2 x}{2} $$
3. Resultado final:
$$ I = \frac{1}{2} \ln^2 x - x + c $$
$$ \boxed{\text{Respuesta: (c) } \frac{1}{2} \ln^2 x - x + c} $$
Usamos propiedades: $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ y $\ln(e^x) = x$.
$$ \frac{1}{x} \ln\left(\frac{x}{e^x}\right) = \frac{1}{x} (\ln x - x) = \frac{\ln x}{x} - 1 $$
2. Integración:
$$ I = \int \left( \frac{\ln x}{x} - 1 \right) \, dx = \int \frac{\ln x}{x} \, dx - \int 1 \, dx $$
Para el primer término, sea $u = \ln x, du = \frac{1}{x}dx$:
$$ \int u \, du = \frac{u^2}{2} = \frac{\ln^2 x}{2} $$
3. Resultado final:
$$ I = \frac{1}{2} \ln^2 x - x + c $$
$$ \boxed{\text{Respuesta: (c) } \frac{1}{2} \ln^2 x - x + c} $$