1. Simplificación del radicando:
Sea $R = 1 + 2\cot^2 x + 2\cot x \csc x$.
Usamos la identidad $1 + \cot^2 x = \csc^2 x \implies \cot^2 x = \csc^2 x - 1$:
$$ R = 1 + \cot^2 x + \cot^2 x + 2\cot x \csc x = \csc^2 x + \cot^2 x + 2\cot x \csc x $$
Notamos que esto es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ R = (\csc x + \cot x)^2 $$

2. Planteo de la integral:
$$ I = \int \sqrt{(\csc x + \cot x)^2} \, dx = \int (\csc x + \cot x) \, dx $$

3. Integración:
Sabemos que:

• $\int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + c$


• $\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + c$

Sumando: $I = \ln|\csc x - \cot x| + \ln|\sin x| + c = \ln|(\csc x - \cot x)\sin x| + c$
Simplificando: $(\frac{1}{\sin x} - \frac{\cos x}{\sin x})\sin x = 1 - \cos x$.
$$ I = \ln(1 - \cos x) + c $$

4. Uso de identidades de ángulo mitad:
$1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$.
$$ I = \ln(2\sin^2(x/2)) + c = \ln 2 + 2\ln(\sin(x/2)) + c $$
Absorbiendo $\ln 2$ en la constante $c$:
$$ I = 2\ln(\sin(x/2)) + c $$

$$ \boxed{\text{Respuesta: (b)}} $$