1. Datos y análisis previo:
Se observa que la derivada de $\ln|x|$ es $1/x$, la cual está presente en el integrando. Esto sugiere un cambio de variable.

2. Cambio de variable:
Sea $u = 1 + \ln|x|$. Entonces:
$$ \ln|x| = u - 1 $$
Diferenciando respecto a $x$:
$$ du = \frac{1}{x} \, dx $$

3. Sustitución en la integral:
Sustituimos $u - 1$ y $du$ en la expresión original:
$$ I = \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} \, du = \int \left( \frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}} \right) \, du $$
Simplificando las potencias de $u$:
$$ I = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) \, du $$

4. Integración término a término:
$$ I = \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} + c = \frac{2}{3} u^{3/2} - 2u^{1/2} + c $$
Factorizamos el término común $2\sqrt{u}$:
$$ I = 2\sqrt{u} \left( \frac{1}{3}u - 1 \right) + c = \frac{2}{3}\sqrt{u} (u - 3) + c $$

5. Retorno a la variable original:
Sustituimos $u = 1 + \ln|x|$ nuevamente:
$$ I = \frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} (1 + \ln|x| - 3) + c $$
$$ I = \frac{2}{3} \sqrt{1 + \ln|x|} (\ln|x| - 2) + c $$

$$ \boxed{\text{Respuesta: (a)}} $$