1. Datos y simplificación del integrando:
Expresamos las funciones en términos de seno y coseno:
$$ \sqrt{\tan x} + \sqrt{\cot x} = \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} $$
Multiplicamos y dividimos por $\sqrt{2}$ para completar el ángulo doble en el denominador:
$$ I = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} dx = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin(2x)}} dx $$

2. Sustitución adecuada:
Notemos que $(\sin x - \cos x)' = \cos x + \sin x$. Sea $u = \sin x - \cos x$.
Entonces $du = (\cos x + \sin x) dx$.
Para hallar $\sin(2x)$ en términos de $u$:
$$ u^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin(2x) $$
De donde $\sin(2x) = 1 - u^2$.

3. Integración:
Sustituyendo en la integral:
$$ I = \sqrt{2} \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sqrt{2} \arcsin(u) + c $$
Sustituyendo $u$ de vuelta:
$$ I = \sqrt{2} \arcsin(\sin x - \cos x) + c $$
Dado que $x \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$, el término $\sin x - \cos x$ está dentro del dominio de la función arcoseno.

Resultado final:
$$ \boxed{\sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c} $$
Corresponde al inciso (b).