1. Datos y simplificación:
Expresamos la raíz en términos de seno y coseno:
$$ I = \int \left( \sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}} \right) dx = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} dx $$

2. Ajuste del integrando:
Multiplicamos y dividimos por \( \sqrt{2} \):
$$ I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} dx $$
Sabemos que \( (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - 2 \sin x \cos x \).
Por lo tanto, \( 2 \sin x \cos x = 1 - (\sin x - \cos x)^2 \).

3. Cambio de variable:
Sea \( u = \sin x - \cos x \).
Entonces \( du = (\cos x + \sin x) dx \).
La integral se transforma en:
$$ I = \sqrt{2} \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} $$

4. Integración:
La integral de \( \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \) es \( \arcsin(u) \):
$$ I = \sqrt{2} \arcsin(u) + c $$
Sustituyendo \( u \):
$$ I = \sqrt{2} \arcsin(\sin x - \cos x) + c $$

5. Resultado final:
$$ \boxed{I = \sqrt{2} \arcsin(\sin x - \cos x) + c} $$