1. Análisis inicial:
Factorizamos el denominador para identificar la estructura de la fracción:
$$ x^6 + x^4 = x^4(x^2 + 1) $$
La integral se convierte en:
$$ I = \int \frac{1}{x^4(x^2 + 1)} dx $$

2. Uso de fracciones parciales:
Buscamos una descomposición de la forma:
$$ \frac{1}{x^4(x^2 + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{x^4} + \frac{Ex + F}{x^2 + 1} $$
Sin embargo, un truco algebraico más rápido es notar que:
$$ 1 = (x^2 + 1) - x^2 $$
Sustituyendo en el numerador:
$$ \frac{1}{x^4(x^2 + 1)} = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{x^4(x^2 + 1)} = \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^2(x^2 + 1)} $$
Repitiendo el proceso para el segundo término:
$$ \frac{1}{x^2(x^2 + 1)} = \frac{(x^2 + 1) - x^2}{x^2(x^2 + 1)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} $$
Entonces:
$$ \frac{1}{x^4(x^2 + 1)} = \frac{1}{x^4} - \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} \right) = \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^2 + 1} $$

3. Integración:
$$ I = \int x^{-4} dx - \int x^{-2} dx + \int \frac{1}{x^2 + 1} dx $$
Aplicando las reglas básicas de integración:
$$ I = \frac{x^{-3}}{-3} - \frac{x^{-1}}{-1} + \tan^{-1}x + c $$
$$ I = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{x} + \tan^{-1}x + c $$

Resultado:
$$ \boxed{ I = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{x} + \tan^{-1}x + c } $$
Corresponde al inciso (c).