1. Identidades trigonométricas:
Utilizamos la identidad del ángulo triple para el seno:
$$ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $$

2. Simplificación de la expresión:
Sustituimos en la integral:
$$ I = \int \frac{\sin x}{3\sin x - 4\sin^3 x} \, dx $$
Factorizamos $\sin x$ en el denominador:
$$ I = \int \frac{\sin x}{\sin x (3 - 4\sin^2 x)} \, dx = \int \frac{1}{3 - 4\sin^2 x} \, dx $$

3. Transformación para sustitución:
Dividimos numerador y denominador por $\cos^2 x$ para expresar la integral en términos de $\tan x$:
$$ I = \int \frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{3}{\cos^2 x} - \frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x}} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{3\sec^2 x - 4\tan^2 x} \, dx $$
Usando la identidad $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$:
$$ I = \int \frac{\sec^2 x}{3(1 + \tan^2 x) - 4\tan^2 x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{3 + 3\tan^2 x - 4\tan^2 x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{3 - \tan^2 x} \, dx $$

4. Sustitución simple:
Sea $u = \tan x$, entonces $du = \sec^2 x \, dx$:
$$ I = \int \frac{du}{3 - u^2} = \int \frac{du}{(\sqrt{3})^2 - u^2} $$

5. Integración por fracciones parciales:
Usamos la fórmula directa $\int \frac{du}{a^2 - u^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+u}{a-u} \right| + c$:
$$ I = \frac{1}{2\sqrt{3}} \ln \left| \frac{\sqrt{3} + u}{\sqrt{3} - u} \right| + c $$

6. Conclusión:
Volviendo a la variable original $u = \tan x$:
$$ \boxed{I = \frac{1}{2\sqrt{3}} \log \left| \frac{\sqrt{3} + \tan x}{\sqrt{3} - \tan x} \right| + c} $$
La opción correcta es la (b).