1. Datos del problema:
Simplificar el integrando mediante identidades trigonométricas para hallar la constante $k$.

2. Fórmulas usadas:
$\cos 4x + 1 = 2 \cos^{2} 2x$
$\cot x - \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\sin x \cos x} = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = 2 \cot 2x$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos las identidades en el integrando:
$\frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} = \frac{2 \cos^{2} 2x}{2 \cot 2x} = \frac{\cos^{2} 2x}{\frac{\cos 2x}{\sin 2x}} = \cos 2x \sin 2x$

Usamos la identidad del ángulo doble: $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$
La integral se convierte en:
$I = \int \frac{1}{2} \sin 4x \, dx$

Calculamos la integral:
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} \right) + c$
$I = -\frac{1}{8} \cos 4x + c$

Comparando con la forma $k \cos 4x + c$:
$k = -\frac{1}{8}$

4. Conclusión:
El valor de $k$ es $-1/8$, opción (b).

$$ \boxed{k = -\frac{1}{8}} $$