Ii
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_314
Guía de ejercicios
Enunciado
Paso 1:
Evaluar: $\int x^{n} e^{x} \, dx$
Evaluar: $\int x^{n} e^{x} \, dx$
Solución Paso a Paso
1. Método: Integración por partes.
Sea $u = x^n \Rightarrow du = n x^{n-1} dx$
Sea $dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$
2. Fórmula recursiva:
$$ \int x^n e^x \, dx = x^n e^x - n \int x^{n-1} e^x \, dx $$
Esta es una fórmula de reducción clásica. Si $n$ es un entero positivo, se aplica $n$ veces hasta que el exponente de $x$ sea 0.
3. Resultado:
$$ \boxed{ \int x^n e^x \, dx = e^x \left[ x^n - nx^{n-1} + n(n-1)x^{n-2} - \dots + (-1)^n n! \right] + C } $$
Sea $u = x^n \Rightarrow du = n x^{n-1} dx$
Sea $dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$
2. Fórmula recursiva:
$$ \int x^n e^x \, dx = x^n e^x - n \int x^{n-1} e^x \, dx $$
Esta es una fórmula de reducción clásica. Si $n$ es un entero positivo, se aplica $n$ veces hasta que el exponente de $x$ sea 0.
3. Resultado:
$$ \boxed{ \int x^n e^x \, dx = e^x \left[ x^n - nx^{n-1} + n(n-1)x^{n-2} - \dots + (-1)^n n! \right] + C } $$