Para resolver integrales de potencias pares de funciones trigonométricas, utilizamos las fórmulas de reducción o las identidades del ángulo doble.

1. Datos y fórmulas:
Usaremos la fórmula de reducción para el seno:
$$ \int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x \, dx $$

2. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la fórmula sucesivamente para $n=8, 6, 4, 2$:

Para $n=8$:
$$ I_8 = -\frac{\sin^7 x \cos x}{8} + \frac{7}{8} I_6 $$

Para $n=6$:
$$ I_6 = -\frac{\sin^5 x \cos x}{6} + \frac{5}{6} I_4 $$

Para $n=4$:
$$ I_4 = -\frac{\sin^3 x \cos x}{4} + \frac{3}{4} I_2 $$

Para $n=2$:
$$ I_2 = \int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} $$

Sustituyendo hacia atrás y simplificando los coeficientes:
$$ \begin{aligned} \int \sin^{8} x \, dx = & -\frac{\sin^7 x \cos x}{8} - \frac{7 \sin^5 x \cos x}{48} - \frac{35 \sin^3 x \cos x}{192} \\ & - \frac{105 \sin x \cos x}{384} + \frac{105x}{384} + C \end{aligned} $$

Simplificando las fracciones finales:
$$ \boxed{ \int \sin^{8} x \, dx = \frac{35x}{128} - \frac{\sin(2x)}{4} \left( \frac{\sin^6 x}{2} + \frac{3\sin^4 x}{8} + \frac{5\sin^2 x}{16} + \frac{35}{64} \right) + C } $$