1. Desarrollo del binomio al cubo:
Utilizamos la fórmula $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$$ (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3 $$

2. Multiplicación por $x^2$:
$$ x^2(1 - 3x + 3x^2 - x^3) = x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5 $$

3. Integración término a término:
$$ \int (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5) dx $$
$$ = \frac{x^3}{3} - 3\frac{x^4}{4} + 3\frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{x^3}{3} - \frac{3x^4}{4} + \frac{3x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + C} $$