1. Selección de variables para integración por partes:
Usamos la regla ILATE para elegir $u$:
$$ u = \log x \implies du = \frac{1}{x} dx $$
$$ dv = x^2 dx \implies v = \frac{x^3}{3} $$

2. Aplicación de la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
$$ \int x^2 \log x \, dx = (\log x)\left( \frac{x^3}{3} \right) - \int \frac{x^3}{3} \frac{1}{x} dx $$
$$ = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 dx $$

3. Integración final:
$$ = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \left( \frac{x^3}{3} \right) + C $$
$$ = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\frac{x^3}{9} (3 \log x - 1) + C} $$