1. Identificación de la técnica:
La integral presenta la forma $\sqrt{x^2 + a^2}$ elevada a una potencia, donde $a = \sqrt{3}$. Utilizaremos la sustitución trigonométrica:
$$ x = \sqrt{3} \tan \theta \implies dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta \, d\theta $$

2. Sustitución en la expresión:
Sustituimos $x^2 + 3$:
$$ x^2 + 3 = (\sqrt{3} \tan \theta)^2 + 3 = 3 \tan^2 \theta + 3 = 3(\tan^2 \theta + 1) = 3 \sec^2 \theta $$
Elevamos al cubo el denominador:
$$ (x^2 + 3)^3 = (3 \sec^2 \theta)^3 = 27 \sec^6 \theta $$

3. Transformación de la integral:
$$ \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{27 \sec^6 \theta} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{27} \int \frac{1}{\sec^4 \theta} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{27} \int \cos^4 \theta \, d\theta $$

4. Integración de $\cos^4 \theta$:
Usamos la identidad de ángulo mitad $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$:
$$ \cos^4 \theta = \left( \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} (1 + 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta) $$
Aplicamos de nuevo la identidad para $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$:
$$ \cos^4 \theta = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{8}(1 + \cos 4\theta) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{8} \cos 4\theta $$
Integrando respecto a $\theta$:
$$ \frac{\sqrt{3}}{27} \left( \frac{3}{8} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + \frac{1}{32} \sin 4\theta \right) + C $$

5. Retorno a la variable $x$:
Dado que $\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{3}}$, entonces $\theta = \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$, $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$ y $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}}$.
Usando identidades de ángulo doble:
$$ \sin 2\theta = 2 \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x^2+3}} = \frac{2\sqrt{3}x}{x^2+3} $$
Tras simplificar los términos algebraicos, el resultado es:

$$ \boxed{\int \frac{dx}{(x^2 + 3)^3} = \frac{\sqrt{3}}{72} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + \frac{x(5x^2 + 9)}{24(x^2 + 3)^2} + C} $$