Iv
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_300
Guía de ejercicios
Enunciado
Paso 1:
Evaluar: $\displaystyle \int \frac{\sin 8x}{\sin x} dx$
Evaluar: $\displaystyle \int \frac{\sin 8x}{\sin x} dx$
Solución Paso a Paso
1. Propiedad:
Para un entero $n$ par, $\frac{\sin nx}{\sin x} = 2\sum_{k=1}^{n/2} \cos(2k-1)x$.
2. Desarrollo:
Para $n=8$:
$$ \frac{\sin 8x}{\sin x} = 2(\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x) $$
Integramos la expresión:
$$ I = 2 \int (\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x) dx $$
$$ I = 2 \left[ \frac{\sin 7x}{7} + \frac{\sin 5x}{5} + \frac{\sin 3x}{3} + \sin x \right] + C $$
3. Resultado:
$$ \boxed{\frac{2}{7}\sin 7x + \frac{2}{5}\sin 5x + \frac{2}{3}\sin 3x + 2\sin x + C} $$
Para un entero $n$ par, $\frac{\sin nx}{\sin x} = 2\sum_{k=1}^{n/2} \cos(2k-1)x$.
2. Desarrollo:
Para $n=8$:
$$ \frac{\sin 8x}{\sin x} = 2(\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x) $$
Integramos la expresión:
$$ I = 2 \int (\cos 7x + \cos 5x + \cos 3x + \cos x) dx $$
$$ I = 2 \left[ \frac{\sin 7x}{7} + \frac{\sin 5x}{5} + \frac{\sin 3x}{3} + \sin x \right] + C $$
3. Resultado:
$$ \boxed{\frac{2}{7}\sin 7x + \frac{2}{5}\sin 5x + \frac{2}{3}\sin 3x + 2\sin x + C} $$