1. Identidades y propiedades:
Para resolver esta integral, utilizamos la identidad del seno del ángulo triple:
$$ \sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x $$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad en el integrando:
$$ \int \frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} dx $$
Simplificamos dividiendo cada término por $\sin x$:
$$ \int (3 - 4\sin^2 x) dx $$
Para integrar $\sin^2 x$, usamos la identidad de reducción de potencia $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:
$$ \begin{aligned} I &= \int 3 dx - 4 \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx \\ &= 3x - 2 \int (1 - \cos 2x) dx \\ &= 3x - 2 \left( x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + C \end{aligned} $$
Distribuimos el valor constante:
$$ 3x - 2x + \sin 2x + C = x + \sin 2x + C $$

3. Resultado:
$$ \boxed{x + \sin 2x + C} $$