1. Datos del problema:
Integral de la secante al cubo, un caso clásico que requiere integración por partes.

2. Fórmulas y propiedades:
Integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
Identidad: $\tan^{2} x = \sec^{2} x - 1$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $u = \sec x \implies du = \sec x \tan x \, dx$.
Sea $dv = \sec^{2} x \, dx \implies v = \tan x$.
$$ I = \sec x \tan x - \int \tan x (\sec x \tan x) \, dx $$
$$ I = \sec x \tan x - \int \sec x (\tan^{2} x) \, dx $$
$$ I = \sec x \tan x - \int \sec x (\sec^{2} x - 1) \, dx $$
$$ I = \sec x \tan x - \int \sec^{3} x \, dx + \int \sec x \, dx $$
Observamos que $I$ aparece en ambos lados:
$$ 2I = \sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\int \sec^{3} x \, dx = \frac{1}{2}(\sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x|) + C} $$