1. Datos del problema:
Se presenta una integral de una función irracional donde el radicando es un trinomio de segundo grado: $ax^2 + bx + c$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:
Para integrales de la forma $\int \frac{dx}{x\sqrt{ax^2 + bx + c}}$, una sustitución útil es $x = \frac{1}{t}$, lo que implica $dx = -\frac{1}{t^2} dt$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $x = \frac{1}{t}$:
$$ \begin{aligned} I &= \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t}\sqrt{(\frac{1}{t})^2 - 3(\frac{1}{t}) + 2}} \\ &= -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1 - 3t + 2t^2}{t^2}}} \\ &= -\int \frac{dt}{t \cdot \frac{1}{t} \sqrt{2t^2 - 3t + 1}} \\ &= -\int \frac{dt}{\sqrt{2t^2 - 3t + 1}} \end{aligned} $$
Completamos el cuadrado en el trinomio $2t^2 - 3t + 1$:
$$ 2t^2 - 3t + 1 = 2\left(t^2 - \frac{3}{2}t + \frac{1}{2}\right) = 2\left[\left(t - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16} + \frac{8}{16}\right] = 2\left[\left(t - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{16}\right] $$
Sustituyendo de nuevo en la integral:
$$ I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t - \frac{3}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2}} $$
Usamos la fórmula $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}} = \ln|u + \sqrt{u^2 - a^2}|$:
$$ I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| t - \frac{3}{4} + \sqrt{(t - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{16}} \right| + C $$
Regresando a la variable original $t = \frac{1}{x}$:
$$ I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \frac{1}{x} - \frac{3}{4} + \sqrt{\frac{2x^2 - 3x + 1}{2x^2}} \right| + C $$
Simplificando la expresión interna, obtenemos el resultado final.

4. Resultado:
$$ \boxed{I = -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left| \frac{4-3x + 2\sqrt{2x^2 - 3x + 1}}{4x} \right| + C} $$