1. Completar el cuadrado en el radicando
$$ -x^2 + 7x - 10 = -(x^2 - 7x + \frac{49}{4}) + \frac{49}{4} - 10 = \frac{9}{4} - (x - \frac{7}{2})^2 $$
La integral queda: $I = \int \frac{x dx}{\sqrt{(\frac{3}{2})^2 - (x - \frac{7}{2})^2}}$.

2. Sustitución trigonométrica
Sea $x - \frac{7}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta \implies dx = \frac{3}{2} \cos \theta d\theta$.
Además, $x = \frac{7}{2} + \frac{3}{2} \sin \theta$.
El radical se convierte en $\frac{3}{2} \cos \theta$.

3. Desarrollo
$$ I = \int \frac{(\frac{7}{2} + \frac{3}{2} \sin \theta) \frac{3}{2} \cos \theta d\theta}{\frac{3}{2} \cos \theta} = \int (\frac{7}{2} + \frac{3}{2} \sin \theta) d\theta $$
$$ I = \frac{7}{2} \theta - \frac{3}{2} \cos \theta + C $$

4. Retorno a la variable x
De la sustitución: $\theta = \arcsin(\frac{2x-7}{3})$ y $\cos \theta = \frac{\sqrt{9 - (2x-7)^2}}{3} = \frac{2}{3} \sqrt{7x - 10 - x^2}$.
Sustituyendo:
$$ \boxed{I = \frac{7}{2} \arcsin \left( \frac{2x - 7}{3} \right) - \sqrt{7x - 10 - x^2} + C} $$