1. Identificación del tipo de integral
La integral es de la forma binomia $\int x^m (a + bx^n)^p dx$, donde:
$m = -6$, $n = 3$, $p = \frac{2}{3}$.

2. Verificación de condiciones de Chebyschev
Calculamos $\frac{m+1}{n} + p$:
$$ \frac{-6+1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{-3}{3} = -1 $$
Como $-1$ es un número entero, aplicamos la tercera sustitución de Chebyschev: $ax^{-n} + b = z^k$, donde $k$ es el denominador de $p$.
En este caso: $x^{-3} + 2 = z^3$.

3. Cambio de variable
Diferenciamos la sustitución:
$$ -3x^{-4} dx = 3z^2 dz \implies dx = -z^2 x^4 dz $$
Expresamos la integral en términos de $z$:
Como $x^{-3} = z^3 - 2$, entonces $x^3 = \frac{1}{z^3 - 2}$.
La expresión $(1 + 2x^3)$ se puede escribir como $x^3(x^{-3} + 2) = x^3 z^3$.
Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int x^{-6} (x^3 z^3)^{2/3} (-z^2 x^4) dz = \int x^{-6} x^2 z^2 (-z^2 x^4) dz = -\int z^4 dz $$

4. Integración y retorno a la variable original
$$ I = -\frac{z^5}{5} + C $$
Sustituyendo $z = (x^{-3} + 2)^{1/3} = \left(\frac{1+2x^3}{x^3}\right)^{1/3}$:
$$ \boxed{I = -\frac{1}{5} \left( \frac{1 + 2x^3}{x^3} \right)^{5/3} + C} $$