1. Análisis y simplificación del radicando:
Primero, observamos la expresión dentro de la raíz cuadrada: $4x^2 - 16x + 20$. Factorizamos el 4:
$$ 4(x^2 - 4x + 5) $$
Completamos el cuadrado para el trinomio entre paréntesis:
$$ x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 $$
Por lo tanto, la integral se reescribe como:
$$ \int \frac{dx}{(x-2)^3 \sqrt{4[(x - 2)^2 + 1]}} = \int \frac{dx}{2(x-2)^3 \sqrt{(x - 2)^2 + 1}} $$

2. Cambio de variable:
Sea $u = x - 2$, entonces $du = dx$. La integral queda:
$$ \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^3 \sqrt{u^2 + 1}} $$

3. Sustitución trigonométrica:
Dada la forma $\sqrt{u^2 + 1}$, utilizamos $u = \tan(\theta)$, de donde $du = \sec^2(\theta) d\theta$ y $\sqrt{u^2 + 1} = \sec(\theta)$.
Sustituyendo en la integral:
$$ \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2(\theta) d\theta}{\tan^3(\theta) \sec(\theta)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec(\theta)}{\tan^3(\theta)} d\theta $$
Expresamos en términos de seno y coseno:
$$ \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos(\theta)} \cdot \frac{\cos^3(\theta)}{\sin^3(\theta)} d\theta = \frac{1}{2} \int \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^3(\theta)} d\theta = \frac{1}{2} \int \frac{1 - \sin^2(\theta)}{\sin^3(\theta)} d\theta $$
$$ = \frac{1}{2} \int (\csc^3(\theta) - \csc(\theta)) d\theta $$

4. Integración y retorno a la variable original:
Usando las fórmulas conocidas:
$\int \csc(\theta) d\theta = -\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)|$
$\int \csc^3(\theta) d\theta = -\frac{1}{2}\csc(\theta)\cot(\theta) - \frac{1}{2}\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)|$
Sustituyendo:
$$ \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\csc(\theta)\cot(\theta) - \frac{1}{2}\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| + \ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| \right] $$
$$ = -\frac{1}{4}\csc(\theta)\cot(\theta) + \frac{1}{4}\ln|\csc(\theta) + \cot(\theta)| + C $$
Dado $u = \tan(\theta)$, entonces $\cot(\theta) = 1/u$ y $\csc(\theta) = \frac{\sqrt{u^2+1}}{u}$. Volviendo a $x$:
$$ \boxed{-\frac{\sqrt{x^2-4x+5}}{4(x-2)^2} + \frac{1}{4}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2-4x+5}+1}{x-2}\right| + C} $$