Iv
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_274
Guía de Ejercicios
Enunciado
Evaluar la integral:
$$ \int \sqrt[3]{x} \times \sqrt[7]{(1 + \sqrt[3]{x^4})} \, dx $$
$$ \int \sqrt[3]{x} \times \sqrt[7]{(1 + \sqrt[3]{x^4})} \, dx $$
Solución Paso a Paso
1. Reescritura de la integral:
$$ I = \int x^{1/3} (1 + x^{4/3})^{1/7} \, dx $$
2. Cambio de variable:
Sea \( u = 1 + x^{4/3} \).
Diferenciando: \( du = \frac{4}{3} x^{1/3} dx \).
Notamos que ya tenemos el término \( x^{1/3} dx \) en la integral.
Despejamos: \( x^{1/3} dx = \frac{3}{4} du \).
3. Sustitución:
$$ I = \int u^{1/7} \left( \frac{3}{4} \right) \, du = \frac{3}{4} \int u^{1/7} \, du $$
4. Integración:
$$ I = \frac{3}{4} \left( \frac{u^{1/7 + 1}}{1/7 + 1} \right) + C = \frac{3}{4} \left( \frac{u^{8/7}}{8/7} \right) + C $$
$$ I = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} u^{8/7} + C = \frac{21}{32} u^{8/7} + C $$
5. Resultado final:
Sustituyendo \( u = 1 + x^{4/3} \):
$$ \boxed{ I = \frac{21}{32} (1 + \sqrt[3]{x^4})^{8/7} + C } $$
$$ I = \int x^{1/3} (1 + x^{4/3})^{1/7} \, dx $$
2. Cambio de variable:
Sea \( u = 1 + x^{4/3} \).
Diferenciando: \( du = \frac{4}{3} x^{1/3} dx \).
Notamos que ya tenemos el término \( x^{1/3} dx \) en la integral.
Despejamos: \( x^{1/3} dx = \frac{3}{4} du \).
3. Sustitución:
$$ I = \int u^{1/7} \left( \frac{3}{4} \right) \, du = \frac{3}{4} \int u^{1/7} \, du $$
4. Integración:
$$ I = \frac{3}{4} \left( \frac{u^{1/7 + 1}}{1/7 + 1} \right) + C = \frac{3}{4} \left( \frac{u^{8/7}}{8/7} \right) + C $$
$$ I = \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} u^{8/7} + C = \frac{21}{32} u^{8/7} + C $$
5. Resultado final:
Sustituyendo \( u = 1 + x^{4/3} \):
$$ \boxed{ I = \frac{21}{32} (1 + \sqrt[3]{x^4})^{8/7} + C } $$