1. Identificación del Binomio Diferencial:
La integral es de la forma \( \int x^m (a + bx^n)^p   dx \), donde:
\( m = -7 \), \( n = 4 \), \( p = -1/2 \).

Verificamos las condiciones de Chebyshev:
$$ \frac{m+1}{n} = \frac{-7+1}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5 \text{ (No es entero)} $$
$$ \frac{m+1}{n} + p = -1.5 - 0.5 = -2 \text{ (Es entero)} $$

2. Cambio de variable:
Como \( \frac{m+1}{n} + p \) es entero, usamos la sustitución: \( z^2 = \frac{1+x^4}{x^4} = x^{-4} + 1 \).
Diferenciando: \( 2z   dz = -4x^{-5}   dx \implies dx = -\frac{z}{2x^{-5}}   dz \).

3. Transformación:
Expresamos la integral en términos de \( z \):
$$ x^4 = \frac{1}{z^2 - 1} \implies \sqrt{1+x^4} = \sqrt{x^4 z^2} = x^2 z $$
Sustituyendo:
$$ I = \int \frac{-z/2 \cdot x^5}{x^7 \cdot x^2 z} \, dz = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^4} \, dz $$
Como \( \frac{1}{x^4} = z^2 - 1 \):
$$ I = -\frac{1}{2} \int (z^2 - 1) \, dz = -\frac{1}{2} \left( \frac{z^3}{3} - z \right) + C $$

4. Resultado final:
Sustituyendo \( z = \sqrt{\frac{1+x^4}{x^4}} \):
$$ \boxed{ I = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1+x^4}{x^4}} - \frac{1}{6} \left( \frac{1+x^4}{x^4} \right)^{3/2} + C } $$