1. Datos y análisis previo:
Se observa una integral que contiene un trinomio de segundo grado bajo una raíz cuadrada y un factor lineal en el denominador. Buscamos simplificar la expresión completando el cuadrado en el radicando:
$$ x^2 + 2x + 3 = (x^2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)^2 + 2 $$

2. Cambio de variable:
Sea \( u = x + 1 \), entonces \( du = dx \) y \( x = u - 1 \).
Sustituimos en el numerador:
$$ x^2 + 4x + 2 = (u - 1)^2 + 4(u - 1) + 2 = u^2 - 2u + 1 + 4u - 4 + 2 = u^2 + 2u - 1 $$

3. Sustitución en la integral:
La integral se convierte en:
$$ I = \int \frac{u^2 + 2u - 1}{u\sqrt{u^2 + 2}} \, du $$
Dividimos el numerador por el término \( u \):
$$ I = \int \left( \frac{u^2}{u\sqrt{u^2 + 2}} + \frac{2u}{u\sqrt{u^2 + 2}} - \frac{1}{u\sqrt{u^2 + 2}} \right) \, du $$
$$ I = \int \frac{u}{\sqrt{u^2 + 2}} \, du + 2\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 2}} \, du - \int \frac{1}{u\sqrt{u^2 + 2}} \, du $$

4. Resolución de las integrales parciales:

• Para \( I_1 = \int \frac{u}{\sqrt{u^2 + 2}}   du \): Usamos \( w = u^2 + 2 \), \( dw = 2u   du \).
  $$ I_1 = \frac{1}{2} \int w^{-1/2} \, dw = \sqrt{w} = \sqrt{u^2 + 2} $$
• Para \( I_2 = 2\int \frac{1}{\sqrt{u^2 + 2}}   du \): Es una integral inmediata de tipo logarítmico.
  $$ I_2 = 2\ln|u + \sqrt{u^2 + 2}| $$
• Para \( I_3 = \int \frac{1}{u\sqrt{u^2 + 2}}   du \): Usamos la sustitución \( u = \frac{1}{z} \), \( du = -\frac{1}{z^2}   dz \).
  $$ I_3 = \int \frac{-1/z^2}{\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{z^2} + 2}} \, dz = -\int \frac{1}{\sqrt{1 + 2z^2}} \, dz = -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln| \sqrt{2}z + \sqrt{2z^2 + 1} | $$
  Volviendo a \( u \): \( I_3 = -\frac{1}{\sqrt{2}} \ln\left| \frac{\sqrt{2} + \sqrt{u^2 + 2}}{u} \right| \)

5. Resultado final:
Regresando a la variable original \( x = u - 1 \):
$$ \boxed{ I = \sqrt{x^2+2x+3} + 2\ln|x+1+\sqrt{x^2+2x+3}| + \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{x^2+2x+3}}{x+1} \right| + C } $$