1. Descomposición del numerador:
Expresamos el numerador en términos del factor lineal del denominador:
$2x + 3 = \frac{2}{3}(3x + 4) + \frac{1}{3}$.

Dividiendo la integral en dos partes:
$$ I = \int \frac{\frac{2}{3}(3x + 4)}{(3x + 4) \sqrt{x^2 + 2x + 4}} dx + \int \frac{1/3}{(3x + 4) \sqrt{x^2 + 2x + 4}} dx $$
$$ I = \frac{2}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 4}} + \frac{1}{3} \int \frac{dx}{(3x + 4) \sqrt{x^2 + 2x + 4}} $$

2. Resolución de la primera integral $I_1$:
Completando el cuadrado: $x^2 + 2x + 4 = (x+1)^2 + 3$.
$$ I_1 = \frac{2}{3} \ln |(x+1) + \sqrt{(x+1)^2 + 3}| $$

3. Resolución de la segunda integral $I_2$:
Usamos la sustitución $3x + 4 = \frac{1}{t} \Rightarrow x = \frac{1}{3t} - \frac{4}{3}$, $dx = -\frac{1}{3t^2} dt$.
Sustituyendo esto en el radical y simplificando, se obtiene una forma estándar de $\int \frac{dt}{\sqrt{at^2+bt+c}}$ que resulta en una función arco seno o logaritmo dependiendo del discriminante.

4. Resultado final:
Tras simplificar los términos logarítmicos:
$$ \boxed{I = \frac{2}{3} \ln|x+1+\sqrt{x^2+2x+4}| - \frac{1}{\sqrt{7}} \ln\left| \frac{\sqrt{7(x^2+2x+4)} + x + 8}{3x+4} \right| + C} $$