1. Desarrollo paso a paso:
Para integrales de la forma $\int \frac{dx}{x \sqrt{ax^n + b}}$, la sustitución $u = \sqrt{ax^n + b}$ es efectiva.
Sea $u = \sqrt{3x^3 + 4} \implies u^2 = 3x^3 + 4 \implies 2u \, du = 9x^2 \, dx$.
Multiplicamos arriba y abajo por $x^2$:
$$ I = \int \frac{x^2 \, dx}{x^3 \sqrt{3x^3 + 4}} $$
De la sustitución: $x^3 = \frac{u^2-4}{3}$ y $x^2 \, dx = \frac{2}{9}u \, du$.
$$ I = \int \frac{\frac{2}{9}u \, du}{\frac{u^2-4}{3} \cdot u} = \int \frac{2}{3(u^2-4)} du = \frac{2}{3} \int \frac{du}{u^2-2^2} $$
Usando la fórmula $\int \frac{du}{u^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{u-a}{u+a}\right|$:
$$ I = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2(2)} \ln\left|\frac{u-2}{u+2}\right| + C = \frac{1}{6} \ln\left|\frac{u-2}{u+2}\right| + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{ I = \frac{1}{6} \ln\left| \frac{\sqrt{3x^3+4}-2}{\sqrt{3x^3+4}+2} \right| + C } $$