1. Datos del problema:
Se presenta una integral de una función racional donde el denominador tiene factores lineales con multiplicidad.
$$ I = \int \frac{1}{(x - 1)^3(x + 2)^4} \, dx $$

2. Fórmulas o propiedades usadas:
Utilizaremos el método de sustitución para simplificar la expresión racional. Una técnica eficiente para integrales de la forma $\int \frac{dx}{(x-a)^m(x-b)^n}$ es la sustitución $u = \frac{x-a}{x-b}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea la sustitución:
$$ u = \frac{x - 1}{x + 2} $$
Derivando $u$ respecto a $x$:
$$ du = \frac{(1)(x + 2) - (x - 1)(1)}{(x + 2)^2} dx = \frac{3}{(x + 2)^2} dx \implies \frac{dx}{(x + 2)^2} = \frac{du}{3} $$
Expresamos la integral original en términos de $u$:
Notamos que $\frac{1}{(x-1)^3 (x+2)^4} = \frac{1}{(x-1)^3 (x+2)^3 (x+2)^1}$. No es directo, así que reescribimos:
$$ I = \int \frac{1}{(x-1)^3 (x+2)^3} \cdot \frac{1}{(x+2)} \cdot \frac{dx}{(x+2)} $$
Para usar $u$, necesitamos $(x-1)$ y $(x+2)$ relacionados. Despejamos $x$ de $u$:
$$ u(x+2) = x-1 \implies ux + 2u = x - 1 \implies x(u-1) = -1 - 2u \implies x = \frac{2u+1}{1-u} $$
Entonces: $x+2 = \frac{2u+1}{1-u} + 2 = \frac{2u+1+2-2u}{1-u} = \frac{3}{1-u}$
Y: $x-1 = u(x+2) = \frac{3u}{1-u}$

Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int \frac{1}{\left(\frac{3u}{1-u}\right)^3 \left(\frac{3}{1-u}\right)^4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{1-u}\right)^2 du $$
Simplificando los términos:
$$ I = \int \frac{(1-u)^3}{27u^3} \cdot \frac{(1-u)^4}{81} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{(1-u)^2} du = \int \frac{(1-u)^5}{729 u^3} du $$
Expandimos $(1-u)^5 = 1 - 5u + 10u^2 - 10u^3 + 5u^4 - u^5$:
$$ I = \frac{1}{729} \int \left( u^{-3} - 5u^{-2} + 10u^{-1} - 10 + 5u - u^2 \right) du $$
Integrando término a término:
$$ I = \frac{1}{729} \left[ \frac{u^{-2}}{-2} - 5\frac{u^{-1}}{-1} + 10\ln|u| - 10u + \frac{5u^2}{2} - \frac{u^3}{3} \right] + C $$

4. Resultado final:
Retornando a la variable $x$ con $u = \frac{x-1}{x+2}$:
$$ \boxed{ I = \frac{1}{729} \left[ -\frac{(x+2)^2}{2(x-1)^2} + \frac{5(x+2)}{x-1} + 10\ln\left|\frac{x-1}{x+2}\right| - \frac{10(x-1)}{x+2} + \frac{5(x-1)^2}{2(x+2)^2} - \frac{(x-1)^3}{3(x+2)^3} \right] + C } $$