1. Identificación del tipo
Esta es una integral de un binomio diferencial. Reescribimos:
$$ I = \int x^{-1/2} (2 + 3x)^{-3/2} dx $$
Aquí $m = -1/2$, $n = 1$, $p = -3/2$.
Verificamos la condición de integrabilidad: $\frac{m+1}{n} = \frac{-1/2 + 1}{1} = 1/2$ (no es entero).
Segunda condición: $\frac{m+1}{n} + p = 1/2 - 3/2 = -1$ (es entero).

2. Sustitución recomendada
Cuando $\frac{m+1}{n} + p$ es entero, se usa la sustitución $z^k = \frac{a + bx^n}{x^n}$, donde $k$ es el denominador de $p$.
$$ z^2 = \frac{2 + 3x}{x} = \frac{2}{x} + 3 $$
Diferenciando: $2z dz = -\frac{2}{x^2} dx \implies dx = -x^2 z dz$.
De la sustitución: $x = \frac{2}{z^2 - 3}$.

3. Transformación
Reemplazando en la integral:
$$ I = \int \frac{-x^2 z dz}{x^{1/2} (zx^{1/2})^3} = \int \frac{-x^2 z dz}{x^{1/2} z^3 x^{3/2}} = \int \frac{-x^2 z}{x^2 z^3} dz = -\int \frac{1}{z^2} dz $$

4. Resultado
$$ I = \frac{1}{z} + C $$
Sustituyendo $z = \sqrt{\frac{2+3x}{x}}$:
$$ \boxed{I = \sqrt{\frac{x}{2 + 3x}} + C} $$