1. Datos y análisis previo
El integrando contiene una expresión de la forma $x + \sqrt{x^2 - a^2}$. Este tipo de integrales suelen simplificarse mediante una sustitución de Euler o una sustitución que relacione la expresión con una nueva variable $t$.

2. Ejecución de la sustitución
Sea la sustitución:
$$ t = x + \sqrt{x^2 - 4} $$
Para hallar $dx$ en términos de $dt$, primero despejamos $x$:
$$ \begin{aligned} t - x &= \sqrt{x^2 - 4} \\ (t - x)^2 &= x^2 - 4 \\ t^2 - 2tx + x^2 &= x^2 - 4 \\ t^2 + 4 &= 2tx \\ x &= \frac{t^2 + 4}{2t} = \frac{1}{2}t + \frac{2}{t} \end{aligned} $$
Ahora, derivamos respecto a $t$:
$$ dx = \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{t^2} \right) dt = \frac{t^2 - 4}{2t^2} dt $$

3. Transformación de la integral
Sustituimos $x + \sqrt{x^2 - 4} = t$ y el valor de $dx$ en la integral original:
$$ \begin{aligned} I &= \int \frac{\frac{t^2 - 4}{2t^2} dt}{t^{5/3}} = \frac{1}{2} \int \frac{t^2 - 4}{t^{2 + 5/3}} dt \\ I &= \frac{1}{2} \int \frac{t^2 - 4}{t^{11/3}} dt = \frac{1}{2} \int (t^{2 - 11/3} - 4t^{-11/3}) dt \\ I &= \frac{1}{2} \int (t^{-5/3} - 4t^{-11/3}) dt \end{aligned} $$

4. Integración y retorno a la variable original
Aplicamos la regla de la potencia $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{-5/3 + 1}}{-5/3 + 1} - 4 \frac{t^{-11/3 + 1}}{-11/3 + 1} \right] + C \\ I &= \frac{1}{2} \left[ \frac{t^{-2/3}}{-2/3} - 4 \frac{t^{-8/3}}{-8/3} \right] + C \\ I &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{2t^{2/3}} + \frac{12}{8t^{8/3}} \right] + C = -\frac{3}{4t^{2/3}} + \frac{3}{4t^{8/3}} + C \end{aligned} $$
Sustituyendo $t = x + \sqrt{x^2 - 4}$:
$$ \boxed{I = \frac{3}{4} \left[ \frac{1}{(x + \sqrt{x^2 - 4})^{8/3}} - \frac{1}{(x + \sqrt{x^2 - 4})^{2/3}} \right] + C} $$