Iv
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_244
Guía de Cálculo II
Enunciado
Evaluar la integral general:
$$ \int (x + \sqrt{1 + x^{2}})^{n} dx $$
$$ \int (x + \sqrt{1 + x^{2}})^{n} dx $$
Solución Paso a Paso
1. Sustitución:
Sea $u = x + \sqrt{1+x^{2}}$. Como se demostró en el ejercicio 106, esto implica:
$dx = \frac{u^{2}+1}{2u^{2}} du$.
2. Sustitución en la integral:
$$ \int u^{n} \left( \frac{u^{2}+1}{2u^{2}} \right) du = \frac{1}{2} \int (u^{n} + u^{n-2}) du $$
3. Integración por casos:
Si $n \neq 1$ y $n \neq -1$:
$$ \frac{1}{2} \left( \frac{u^{n+1}}{n+1} + \frac{u^{n-1}}{n-1} \right) + C $$
4. Conclusión:
Sustituyendo $u$ de vuelta:
$$ \boxed{\frac{(x + \sqrt{1+x^{2}})^{n+1}}{2(n+1)} + \frac{(x + \sqrt{1+x^{2}})^{n-1}}{2(n-1)} + C} $$
Nota: Para los casos $n=1$ o $n=-1$, la integral involucra logaritmos naturales.
Sea $u = x + \sqrt{1+x^{2}}$. Como se demostró en el ejercicio 106, esto implica:
$dx = \frac{u^{2}+1}{2u^{2}} du$.
2. Sustitución en la integral:
$$ \int u^{n} \left( \frac{u^{2}+1}{2u^{2}} \right) du = \frac{1}{2} \int (u^{n} + u^{n-2}) du $$
3. Integración por casos:
Si $n \neq 1$ y $n \neq -1$:
$$ \frac{1}{2} \left( \frac{u^{n+1}}{n+1} + \frac{u^{n-1}}{n-1} \right) + C $$
4. Conclusión:
Sustituyendo $u$ de vuelta:
$$ \boxed{\frac{(x + \sqrt{1+x^{2}})^{n+1}}{2(n+1)} + \frac{(x + \sqrt{1+x^{2}})^{n-1}}{2(n-1)} + C} $$
Nota: Para los casos $n=1$ o $n=-1$, la integral involucra logaritmos naturales.