1. Identificación del método:
La integral contiene un radical de la forma $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ con $a=1$. Para resolverla, utilizaremos una sustitución trigonométrica.

2. Sustitución y diferenciales:
Sea $x = \sec(\theta)$, entonces:

• $dx = \sec(\theta)\tan(\theta)d\theta$
• $\sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{\sec^{2}(\theta)-1} = \tan(\theta)$

3. Desarrollo de la integral:
Sustituyendo los términos en la integral original:
$$ \begin{aligned} I &= \int \frac{\sec(\theta)\tan(\theta)d\theta}{\sec^{2}(\theta)\tan(\theta)} \\ I &= \int \frac{1}{\sec(\theta)}d\theta \\ I &= \int \cos(\theta) d\theta \end{aligned} $$
Integrando la función coseno:
$$ I = \sin(\theta) + C $$

4. Regreso a la variable original:
A partir de $x = \sec(\theta)$, sabemos que $\cos(\theta) = \frac{1}{x}$. En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente es $1$, la hipotenusa es $x$ y el cateto opuesto es $\sqrt{x^{2}-1}$. Por lo tanto:
$$ \sin(\theta) = \frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} $$

$$ \boxed{\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x} + C} $$