1. Datos y análisis del problema:
Se presenta una integral que contiene una expresión racional y una raíz cuadrada simple de la variable. El método más directo es eliminar el radical mediante una sustitución.

2. Fórmulas y propiedades:

• Sustitución simple: $x = t^2 \Rightarrow dx = 2t \, dt$.


• Integral de una función racional por fracciones parciales o descomposición.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea la sustitución $x = t^2$, entonces $dx = 2t \, dt$ y $\sqrt{x} = t$. Reemplazando en la integral:
$$ I = \int \frac{2t \, dt}{( (t^2)^2 + 1 ) t} = \int \frac{2 \, dt}{t^4 + 1} $$
Para resolver $\int \frac{2}{t^4 + 1} dt$, factorizamos el denominador:
$$ t^4 + 1 = (t^2 + 1)^2 - 2t^2 = (t^2 + \sqrt{2}t + 1)(t^2 - \sqrt{2}t + 1) $$
Aplicamos fracciones parciales:
$$ \frac{2}{t^4 + 1} = \frac{At + B}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} + \frac{Ct + D}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} $$
Resolviendo el sistema de coeficientes se obtiene $A = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $B = 1$, $C = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, $D = 1$.
Integrando cada término y regresando a la variable original $t = \sqrt{x}$:
$$ I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left| \frac{x + \sqrt{2x} + 1}{x - \sqrt{2x} + 1} \right| + \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{\sqrt{2x}}{1 - x} \right) + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{2\sqrt{2}} \ln\left| \frac{x + \sqrt{2x} + 1}{x - \sqrt{2x} + 1} \right| + \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left( \frac{\sqrt{2x}}{1 - x} \right) + C} $$