1. Datos del problema:
Se presenta una integral de una función irracional donde el radical contiene una expresión lineal. El método más eficiente es realizar una sustitución para eliminar la raíz.

2. Fórmulas y propiedades:
Sustitución simple: si $u = \sqrt{ax+b}$, entonces $u^2 = ax+b$ y $2u \, du = a \, dx$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea la sustitución:
$$ u = \sqrt{x + 3} \implies u^2 = x + 3 \implies x = u^2 - 3 $$
Diferenciando ambos lados:
$$ dx = 2u \, du $$
Sustituyendo el término $(x - 1)$ en términos de $u$:
$$ x - 1 = (u^2 - 3) - 1 = u^2 - 4 $$
Reemplazamos en la integral original:
$$ \int \frac{2u \, du}{(u^2 - 4)u} = 2 \int \frac{du}{u^2 - 4} $$
La expresión resultante es una integral de fracciones parciales o una fórmula directa de la forma $\int \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{u-a}{u+a} \right| + C$:
$$ 2 \left( \frac{1}{2(2)} \ln \left| \frac{u - 2}{u + 2} \right| \right) + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u - 2}{u + 2} \right| + C $$
Regresamos a la variable original $x$:
$$ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x + 3} + 2} \right| + C $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\frac{1}{2} \ln \left| \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x + 3} + 2} \right| + C} $$