I
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_215
Guía de ejercicios
Enunciado
Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{1/3}} $$
$$ \int \frac{dx}{x^{1/2} + x^{1/3}} $$
Solución Paso a Paso
1. Procedimiento
Sea $x = u^6$, por tanto $dx = 6u^5 du$.
La integral se convierte en:
$$ I = \int \frac{6u^5 du}{u^3 + u^2} = 6 \int \frac{u^3}{u+1} du $$
Usando el resultado de la división $\frac{u^3}{u+1} = u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}$:
$$ I = 6 \left( \frac{u^3}{3} - \frac{u^2}{2} + u - \ln|u+1| \right) + C $$
Sustituyendo $u = x^{1/6}$:
$$ \boxed{2\sqrt{x} - 3\sqrt[3]{x} + 6\sqrt[6]{x} - 6\ln(\sqrt[6]{x} + 1) + C} $$
Sea $x = u^6$, por tanto $dx = 6u^5 du$.
La integral se convierte en:
$$ I = \int \frac{6u^5 du}{u^3 + u^2} = 6 \int \frac{u^3}{u+1} du $$
Usando el resultado de la división $\frac{u^3}{u+1} = u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1}$:
$$ I = 6 \left( \frac{u^3}{3} - \frac{u^2}{2} + u - \ln|u+1| \right) + C $$
Sustituyendo $u = x^{1/6}$:
$$ \boxed{2\sqrt{x} - 3\sqrt[3]{x} + 6\sqrt[6]{x} - 6\ln(\sqrt[6]{x} + 1) + C} $$