1. Datos y análisis del problema
La integral presenta términos irracionales con el mismo argumento $x+1$ pero diferentes índices de raíz (2 y 3). Para simplificarla, utilizaremos una sustitución que elimine ambas raíces simultáneamente.

2. Fórmulas y propiedades

• Sustitución para raíces: $u^n = g(x)$, donde $n$ es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices.


• $\int \frac{u^n}{u+1} du$: se resuelve mediante división polinómica.

3. Desarrollo paso a paso
El m.c.m. de los índices 2 y 3 es 6. Realizamos el cambio de variable:
$$ x + 1 = u^6 \implies dx = 6u^5 du $$
Sustituyendo en las raíces:
$$ \sqrt{x+1} = (u^6)^{1/2} = u^3 $$
$$ \sqrt[3]{x+1} = (u^6)^{1/3} = u^2 $$

Reemplazamos en la integral original:
$$ I = \int \frac{6u^5 du}{u^3 + u^2} $$
Factorizamos $u^2$ en el denominador:
$$ I = \int \frac{6u^5}{u^2(u + 1)} du = 6 \int \frac{u^3}{u + 1} du $$
Realizamos la división de polinomios para $\frac{u^3}{u+1}$:
$$ \frac{u^3}{u+1} = u^2 - u + 1 - \frac{1}{u+1} $$
Integramos término a término:
$$ I = 6 \left[ \int u^2 du - \int u du + \int 1 du - \int \frac{1}{u+1} du \right] $$
$$ I = 6 \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^2}{2} + u - \ln|u+1| \right] + C $$
$$ I = 2u^3 - 3u^2 + 6u - 6\ln|u+1| + C $$

Regresamos a la variable original sabiendo que $u = (x+1)^{1/6}$:
$$ \begin{aligned} I &= 2(x+1)^{3/6} - 3(x+1)^{2/6} + 6(x+1)^{1/6} - 6\ln|(x+1)^{1/6} + 1| + C \\ I &= 2\sqrt{x+1} - 3\sqrt[3]{x+1} + 6\sqrt[6]{x+1} - 6\ln|\sqrt[6]{x+1} + 1| + C \end{aligned} $$

4. Resultado final
$$ \boxed{2\sqrt{x+1} - 3\sqrt[3]{x+1} + 6\sqrt[6]{x+1} - 6\ln(\sqrt[6]{x+1} + 1) + C} $$