1. Sustitución racionalizante
Sea $u^3 = \frac{2-x}{2+x}$. Para simplificar el diferencial, despejamos $x$:
$$ u^3(2 + x) = 2 - x \Rightarrow 2u^3 + xu^3 = 2 - x \Rightarrow x(u^3 + 1) = 2 - 2u^3 \Rightarrow x = \frac{2(1 - u^3)}{1 + u^3} $$
Necesitamos la expresión $(2-x)$:
$$ 2 - x = 2 - \frac{2 - 2u^3}{1 + u^3} = \frac{2 + 2u^3 - 2 + 2u^3}{1 + u^3} = \frac{4u^3}{1 + u^3} $$
Diferenciamos $u^3 = \frac{2-x}{2+x}$ implícitamente:
$$ 3u^2 du = \frac{-1(2+x) - 1(2-x)}{(2+x)^2} dx = \frac{-4}{(2+x)^2} dx $$
Note que $\frac{2}{(2-x)^2} dx$ se puede relacionar con $du$. Es más fácil usar $x$ en términos de $u$:
$$ dx = \frac{-6u^2(1+u^3) - 3u^2(2-2u^3)}{(1+u^3)^2} du = \frac{-12u^2}{(1+u^3)^2} du $$

2. Sustitución en la integral
Sustituimos todos los términos:
$$ I = \int \frac{2}{\left( \frac{4u^3}{1 + u^3} \right)^2} \cdot u \cdot \left[ \frac{-12u^2}{(1 + u^3)^2} \right] du $$
Simplificando el denominador y los términos:
$$ I = \int \frac{2 (1 + u^3)^2}{16u^6} \cdot u \cdot \frac{-12u^2}{(1 + u^3)^2} du = \int \frac{-24u^3}{16u^6} du = -\frac{3}{2} \int u^{-3} du $$

3. Integración
$$ I = -\frac{3}{2} \left( \frac{u^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{3}{4u^2} + C $$

4. Resultado final
Retornamos a la variable $x$ usando $u = \sqrt[3]{\frac{2-x}{2+x}}$:
$$ I = \frac{3}{4 \left( \frac{2-x}{2+x} \right)^{2/3}} + C $$
$$ \boxed{I = \frac{3}{4} \sqrt[3]{\left( \frac{2 + x}{2 - x} \right)^2} + C} $$