Iv
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_208
Guía de ejercicios de Cálculo
Enunciado
Evaluar la integral:
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{(x + 2)^5 (x + 1)^3}} $$
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{(x + 2)^5 (x + 1)^3}} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos y análisis previo
La integral presenta un radical con potencias altas en el denominador. Para simplificarla, buscaremos una sustitución que relacione ambos binomios. Reescribimos el radicando para extraer términos de la raíz:
$$ \sqrt{(x+2)^5 (x+1)^3} = \sqrt{(x+2)^4 (x+2) (x+1)^2 (x+1)} = (x+2)^2 (x+1) \sqrt{(x+2)(x+1)} $$
Sin embargo, es más eficiente intentar una sustitución del tipo $u = \frac{x+1}{x+2}$.
2. Transformación de la integral
Manipulamos el denominador para forzar la aparición de la fracción $\frac{x+1}{x+2}$:
$$ I = \int \frac{dx}{(x+2)^{5/2} (x+1)^{3/2}} = \int \frac{dx}{(x+2)^4 \left( \frac{x+1}{x+2} \right)^{3/2}} $$
Note que $(x+2)^{5/2}(x+1)^{3/2} = (x+2)^{5/2+3/2} \cdot \frac{(x+1)^{3/2}}{(x+2)^{3/2}} = (x+2)^4 \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{3/2}$.
3. Sustitución
Sea $u = \frac{x+1}{x+2}$. Calculamos su diferencial:
$$ du = \frac{1 \cdot (x+2) - 1 \cdot (x+1)}{(x+2)^2} dx = \frac{1}{(x+2)^2} dx $$
De aquí, $\frac{dx}{(x+2)^2} = du$. Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int \frac{1}{(x+2)^2 \left( \frac{x+1}{x+2} \right)^{3/2}} \cdot \frac{dx}{(x+2)^2} = \int \frac{du}{(x+2)^2 \cdot u^{3/2}} $$
Necesitamos expresar $(x+2)^2$ en términos de $u$. De $u = \frac{x+1}{x+2} \Rightarrow u = \frac{x+2-1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}$.
Entonces, $\frac{1}{x+2} = 1 - u \Rightarrow (x+2)^2 = \frac{1}{(1-u)^2}$.
Sustituyendo:
$$ I = \int \frac{du}{\frac{1}{(1-u)^2} u^{3/2}} = \int \frac{(1-u)^2}{u^{3/2}} du = \int \frac{1 - 2u + u^2}{u^{3/2}} du $$
4. Integración paso a paso
Dividimos los términos:
$$ I = \int (u^{-3/2} - 2u^{-1/2} + u^{1/2}) du $$
Aplicando la regla de la potencia $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{u^{-1/2}}{-1/2} - 2\frac{u^{1/2}}{1/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} + C \\ I &= -2u^{-1/2} - 4u^{1/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} + C \end{aligned} $$
5. Retorno a la variable original
Sustituimos $u = \frac{x+1}{x+2}$:
$$ I = -2\sqrt{\frac{x+2}{x+1}} - 4\sqrt{\frac{x+1}{x+2}} + \frac{2}{3}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{3/2} + C $$
Simplificando términos:
$$ \boxed{I = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{x+1}{x+2}} \left[ \frac{x+1}{x+2} - 6 - \frac{3(x+2)}{x+1} \right] + C} $$
La integral presenta un radical con potencias altas en el denominador. Para simplificarla, buscaremos una sustitución que relacione ambos binomios. Reescribimos el radicando para extraer términos de la raíz:
$$ \sqrt{(x+2)^5 (x+1)^3} = \sqrt{(x+2)^4 (x+2) (x+1)^2 (x+1)} = (x+2)^2 (x+1) \sqrt{(x+2)(x+1)} $$
Sin embargo, es más eficiente intentar una sustitución del tipo $u = \frac{x+1}{x+2}$.
2. Transformación de la integral
Manipulamos el denominador para forzar la aparición de la fracción $\frac{x+1}{x+2}$:
$$ I = \int \frac{dx}{(x+2)^{5/2} (x+1)^{3/2}} = \int \frac{dx}{(x+2)^4 \left( \frac{x+1}{x+2} \right)^{3/2}} $$
Note que $(x+2)^{5/2}(x+1)^{3/2} = (x+2)^{5/2+3/2} \cdot \frac{(x+1)^{3/2}}{(x+2)^{3/2}} = (x+2)^4 \left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{3/2}$.
3. Sustitución
Sea $u = \frac{x+1}{x+2}$. Calculamos su diferencial:
$$ du = \frac{1 \cdot (x+2) - 1 \cdot (x+1)}{(x+2)^2} dx = \frac{1}{(x+2)^2} dx $$
De aquí, $\frac{dx}{(x+2)^2} = du$. Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int \frac{1}{(x+2)^2 \left( \frac{x+1}{x+2} \right)^{3/2}} \cdot \frac{dx}{(x+2)^2} = \int \frac{du}{(x+2)^2 \cdot u^{3/2}} $$
Necesitamos expresar $(x+2)^2$ en términos de $u$. De $u = \frac{x+1}{x+2} \Rightarrow u = \frac{x+2-1}{x+2} = 1 - \frac{1}{x+2}$.
Entonces, $\frac{1}{x+2} = 1 - u \Rightarrow (x+2)^2 = \frac{1}{(1-u)^2}$.
Sustituyendo:
$$ I = \int \frac{du}{\frac{1}{(1-u)^2} u^{3/2}} = \int \frac{(1-u)^2}{u^{3/2}} du = \int \frac{1 - 2u + u^2}{u^{3/2}} du $$
4. Integración paso a paso
Dividimos los términos:
$$ I = \int (u^{-3/2} - 2u^{-1/2} + u^{1/2}) du $$
Aplicando la regla de la potencia $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{u^{-1/2}}{-1/2} - 2\frac{u^{1/2}}{1/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} + C \\ I &= -2u^{-1/2} - 4u^{1/2} + \frac{2}{3}u^{3/2} + C \end{aligned} $$
5. Retorno a la variable original
Sustituimos $u = \frac{x+1}{x+2}$:
$$ I = -2\sqrt{\frac{x+2}{x+1}} - 4\sqrt{\frac{x+1}{x+2}} + \frac{2}{3}\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^{3/2} + C $$
Simplificando términos:
$$ \boxed{I = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{x+1}{x+2}} \left[ \frac{x+1}{x+2} - 6 - \frac{3(x+2)}{x+1} \right] + C} $$