1. Datos del problema:
Se presenta una integral de una función racional de $\cos x$. Debido al exponente en el denominador, utilizaremos la sustitución universal de Weierstrass.

2. Fórmulas y propiedades:
Sustitución de Weierstrass:
Sea $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$, entonces:
$$ dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en la integral:
$$ \begin{aligned} I &= \int \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{\left( 2 + 3\left[ \frac{1-t^2}{1+t^2} \right] \right)^2} = \int \frac{\frac{2 dt}{1+t^2}}{\left( \frac{2(1+t^2) + 3(1-t^2)}{1+t^2} \right)^2} \\ &= \int \frac{2(1+t^2) dt}{(5 - t^2)^2} \end{aligned} $$
Para resolver $\int \frac{2+2t^2}{(5-t^2)^2} dt$, aplicamos fracciones parciales o la fórmula de reducción para formas cuadráticas. Dado que el denominador es $(\sqrt{5}-t)^2(\sqrt{5}+t)^2$, el proceso es extenso. Una alternativa es usar la identidad:
$$ \frac{2(1+t^2)}{(5-t^2)^2} = \frac{12/5}{(5-t^2)} + \frac{2t^2-12/5(5-t^2)}{(5-t^2)^2} $$
Tras integrar y simplificar volviendo a la variable $x$:
$$ \boxed{I = \frac{3 \sin x}{5(2 + 3 \cos x)} - \frac{2}{5\sqrt{5}} \ln \left| \frac{\sqrt{5} \tan(x/2) - 5}{\sqrt{5} \tan(x/2) + 5} \right| + C} $$