1. Datos y fórmulas
Esta es una integral de tipo racional en $\sin x$. Para resolverla, utilizaremos la sustitución universal de Weierstrass:
$$ t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \implies \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2dt}{1+t^2} $$

2. Desarrollo
Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\left(3 + 4\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)\right)^2} = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\left(\frac{3+3t^2+8t}{1+t^2}\right)^2} $$
$$ I = \int \frac{2(1+t^2) dt}{(3t^2 + 8t + 3)^2} $$

Para resolver esta forma, podemos usar una sustitución alternativa basada en la derivada de $\frac{\cos x}{3+4\sin x}$:
$\frac{d}{dx} \left( \frac{\cos x}{3+4\sin x} \right) = \frac{-\sin x(3+4\sin x) - \cos x(4\cos x)}{(3+4\sin x)^2} = \frac{-3\sin x - 4}{(3+4\sin x)^2}$

Como el problema pide $\int \frac{1}{(3+4\sin x)^2} dx$, se requiere combinar este resultado con la integral de $\int \frac{dx}{3+4\sin x}$ usando reducción.
Sin embargo, para fines prácticos en este nivel, se aplica la fórmula de reducción para $\int \frac{dx}{(a+b\sin x)^2}$:
$$ \int \frac{dx}{(a+b\sin x)^2} = \frac{b \cos x}{(b^2-a^2)(a+b\sin x)} + \frac{a}{b^2-a^2} \int \frac{dx}{a+b\sin x} $$
Donde $a=3, b=4$. Entonces $b^2-a^2 = 16-9=7$.
$$ I = \frac{4\cos x}{7(3+4\sin x)} + \frac{3}{7} \int \frac{dx}{3+4\sin x} $$

Para $\int \frac{dx}{3+4\sin x}$ con $t = \tan(x/2)$:
$$ \int \frac{2dt}{3t^2+8t+3} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{(t+4/3)^2 - 7/9} $$
Esta es una integral de tipo $\frac{1}{x^2-a^2}$, que resulta en logaritmos.

3. Resultado final
Tras simplificar y agrupar términos:
$$ \boxed{\frac{4\cos x}{7(3+4\sin x)} + \frac{3}{7\sqrt{7}} \ln\left| \frac{3\tan(x/2) + 4 - \sqrt{7}}{3\tan(x/2) + 4 + \sqrt{7}} \right| + C} $$