1. Identificación del problema
Se presenta una integral racional de funciones trigonométricas donde el numerador y el denominador comparten coeficientes similares ($3$ y $4$). Este tipo de integrales suelen resolverse mediante una sustitución ingeniosa o buscando una derivada exacta.

2. Fórmulas y propiedades
Utilizaremos la técnica de multiplicar y dividir por una expresión que permita separar la integral o encontrar una diferencial conocida.
Recordemos que:
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{3\cos x + 4} \right) = \frac{(\cos x)(3\cos x + 4) - (\sin x)(-3\sin x)}{(3\cos x + 4)^2} $$
$$ = \frac{3\cos^2 x + 4\cos x + 3\sin^2 x}{(3\cos x + 4)^2} = \frac{3(\cos^2 x + \sin^2 x) + 4\cos x}{(3\cos x + 4)^2} $$
$$ = \frac{4\cos x + 3}{(3\cos x + 4)^2} $$

3. Desarrollo paso a paso
Observamos que la expresión dentro de la integral es exactamente la derivada de la función propuesta:
$$ f(x) = \frac{\sin x}{3\cos x + 4} \implies f'(x) = \frac{4\cos x + 3}{(3\cos x + 4)^2} $$

Por lo tanto, la integral se resuelve directamente por la definición de la antiderivada:
$$ \int \frac{4\cos x + 3}{(3\cos x + 4)^2} dx = \frac{\sin x}{3\cos x + 4} + C $$

4. Resultado final
$$ \boxed{\frac{\sin x}{3\cos x + 4} + C} $$