1. Datos del problema:
Integral de una función con potencia fraccionaria compuesta en el denominador.

2. Fórmulas:

• Sustitución algebraica: $u = ax^2 + b$.


• Expansión binomial: $(a+b)^n$.

3. Desarrollo:
Sea $u = 3x^2 + 5$, entonces $x^2 = \frac{u - 5}{3}$ y $x dx = \frac{du}{6}$.
Reescribimos el numerador $10x^{11} = 10(x^2)^5 x$:
$$ \int \frac{10(\frac{u-5}{3})^5 \frac{1}{6}}{u^4} du = \frac{10}{6 \cdot 3^5} \int \frac{(u-5)^5}{u^4} du $$
$$ = \frac{5}{729} \int \frac{u^5 - 25u^4 + 250u^3 - 1250u^2 + 3125u - 3125}{u^4} du $$
$$ = \frac{5}{729} \int \left( u - 25 + \frac{250}{u} - \frac{1250}{u^2} + \frac{3125}{u^3} - \frac{3125}{u^4} \right) du $$

Integrando:
$$ \frac{5}{729} \left( \frac{u^2}{2} - 25u + 250 \ln|u| + \frac{1250}{u} - \frac{3125}{2u^2} + \frac{3125}{3u^3} \right) + C $$

4. Conclusión:
Sustituyendo $u = 3x^2 + 5$ se obtiene el resultado final.
$$ \boxed{ \frac{5}{729} \left[ \frac{(3x^2+5)^2}{2} - 25(3x^2+5) + 250 \ln|3x^2+5| + \frac{1250}{3x^2+5} - \frac{3125}{2(3x^2+5)^2} + \frac{3125}{3(3x^2+5)^3} \right] + C } $$