1. Datos del problema:
Se requiere resolver una integral indefinida de una función racional donde el numerador es de grado superior al factor base del denominador.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Método de sustitución simple: $u = g(x)$, $du = g'(x)dx$.


• Regla de la potencia para integrales: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para simplificar la expresión, realizamos un cambio de variable que elimine la composición en el denominador:
Sea $u = x^2 - 1$, entonces $du = 2x dx$, lo que implica que $x dx = \frac{du}{2}$.
Además, de la sustitución despejamos $x^2$: $x^2 = u + 1$.

Podemos reescribir el numerador $x^5$ como $x^4 \cdot x = (x^2)^2 \cdot x$. Sustituyendo en términos de $u$:
$$ x^4 \cdot x = (u + 1)^2 \cdot x $$
Sustituyendo en la integral:
$$ \begin{aligned} \int \frac{(u + 1)^2}{(u)^4} \frac{du}{2} &= \frac{1}{2} \int \frac{u^2 + 2u + 1}{u^4} du \\ &= \frac{1}{2} \int \left( \frac{u^2}{u^4} + \frac{2u}{u^4} + \frac{1}{u^4} \right) du \\ &= \frac{1}{2} \int (u^{-2} + 2u^{-3} + u^{-4}) du \end{aligned} $$
Integrando término a término:
$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{-1}}{-1} + 2\frac{u^{-2}}{-2} + \frac{u^{-3}}{-3} \right] + C &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} - \frac{1}{u^2} - \frac{1}{3u^3} \right] + C \\ &= -\frac{1}{2u} - \frac{1}{2u^2} - \frac{1}{6u^3} + C \end{aligned} $$
Regresando a la variable original $x$ ($u = x^2 - 1$):
$$ \boxed{-\frac{1}{2(x^2 - 1)} - \frac{1}{2(x^2 - 1)^2} - \frac{1}{6(x^2 - 1)^3} + C} $$