1. Planteamiento:
Reescribimos la integral como $\int \frac{dx}{x(1 + 3x^4)}$. Multiplicamos por $x^3$ en el numerador y denominador:
$$ I = \int \frac{x^3 \, dx}{x^4(1 + 3x^4)} $$

2. Sustitución:
Sea $u = x^4$, entonces $du = 4x^3 dx \implies x^3 dx = \frac{du}{4}$.
$$ I = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u(1 + 3u)} $$

3. Fracciones parciales:
$$ \frac{1}{u(1 + 3u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1+3u} \implies 1 = A(1+3u) + Bu $$
Para $u=0: A=1$. Para $u=-1/3: B=-3$.
$$ I = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{u} - \frac{3}{1 + 3u} \right) du = \frac{1}{4} (\ln|u| - \ln|1 + 3u|) + C $$

4. Resultado final:
Regresando a $x^4$:
$$ \boxed{I = \frac{1}{4} \ln\left| \frac{x^4}{1 + 3x^4} \right| + C} $$