Siguiendo la regla general $\int \frac{dx}{x(a + bx^n)} = \frac{1}{an} \ln\left| \frac{bx^n}{a + bx^n} \right| + C$:
Aquí $a=3, b=4, n=3$.
$$ \begin{aligned} I &= \frac{1}{(3)(3)} \ln\left| \frac{4x^3}{3 + 4x^3} \right| + C \end{aligned} $$
Verificación por sustitución:
Si $u = x^3$, $du = 3x^2 dx$. Multiplicando por $x^2/x^2$:
$$ I = \int \frac{x^2 \, dx}{x^3(3 + 4x^3)} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u(3 + 4u)} $$
Usando fracciones parciales: $\frac{1}{u(3+4u)} = \frac{1/3}{u} - \frac{4/3}{3+4u}$.
$$ I = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3} \ln|u| - \frac{1}{3} \ln|3+4u| \right) = \frac{1}{9} \ln\left| \frac{u}{3+4u} \right| $$
Resultado:
$$ \boxed{I = \frac{1}{9} \ln\left| \frac{x^3}{3 + 4x^3} \right| + C'} $$
*Nota: El factor constante dentro del logaritmo se absorbe en $C$.