1. Identificación del método:
Para resolver integrales de la forma $\int \frac{dx}{x(a + bx^n)}$, una técnica efectiva es multiplicar y dividir por $x^{n-1}$ para facilitar una sustitución simple.

2. Transformación de la integral:
Multiplicamos el numerador y el denominador por $x^2$:
$$ I = \int \frac{x^2 \, dx}{x^3(2 + 3x^3)} $$

3. Sustitución:
Sea $u = 2 + 3x^3$. Entonces, derivamos respecto a $x$:
$$ \begin{aligned} du &= 9x^2 \, dx \\ \frac{du}{9} &= x^2 \, dx \end{aligned} $$
Además, despejamos $x^3$ de la sustitución original: $x^3 = \frac{u - 2}{3}$.

4. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en la integral:
$$ \begin{aligned} I &= \int \frac{1}{\left( \frac{u - 2}{3} \right) u} \cdot \frac{du}{9} \\ I &= \frac{3}{9} \int \frac{du}{u(u - 2)} = \frac{1}{3} \int \frac{du}{u^2 - 2u} \end{aligned} $$
Aplicamos fracciones parciales para $\frac{1}{u(u-2)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{u-2}$:
$$ 1 = A(u-2) + Bu \implies A = -1/2, \, B = 1/2 $$
$$ \begin{aligned} I &= \frac{1}{3} \int \left( \frac{-1/2}{u} + \frac{1/2}{u-2} \right) du \\ I &= \frac{1}{6} \left( \ln|u-2| - \ln|u| \right) + C \\ I &= \frac{1}{6} \ln\left| \frac{u-2}{u} \right| + C \end{aligned} $$

5. Retorno a la variable original:
Sustituyendo $u = 2 + 3x^3$:
$$ \boxed{I = \frac{1}{6} \ln\left| \frac{3x^3}{2 + 3x^3} \right| + C} $$