1. Datos y análisis previo
El integrando es una función racional con factores lineales repetidos en el denominador. Para simplificar el cálculo, utilizaremos una sustitución que relacione ambos factores.

2. Sustitución sugerida
Sea la sustitución:
$$ t = \frac{x - 1}{x - 2} $$
Diferenciando $t$ con respecto a $x$:
$$ dt = \frac{(1)(x - 2) - (x - 1)(1)}{(x - 2)^2} dx = \frac{-1}{(x - 2)^2} dx \implies dx = -(x - 2)^2 dt $$
Despejamos $x$ en función de $t$:
$$ t(x - 2) = x - 1 \implies tx - 2t = x - 1 \implies x(t - 1) = 2t - 1 \implies x = \frac{2t - 1}{t - 1} $$
Entonces:
$$ x - 2 = \frac{2t - 1}{t - 1} - 2 = \frac{2t - 1 - 2t + 2}{t - 1} = \frac{1}{t - 1} $$
$$ x - 1 = t(x - 2) = \frac{t}{t - 1} $$

3. Transformación de la integral
Sustituimos los términos en la integral original $I$:
$$ I = \int \frac{-(x - 2)^2 dt}{\left( \frac{t}{t - 1} \right)^3 (x - 2)^4} = \int \frac{-dt}{\left( \frac{t}{t - 1} \right)^3 (x - 2)^2} $$
Como $(x - 2)^2 = \frac{1}{(t - 1)^2}$:
$$ I = \int \frac{-dt}{\frac{t^3}{(t - 1)^3} \cdot \frac{1}{(t - 1)^2}} = \int \frac{-(t - 1)^5}{t^3} dt $$

4. Desarrollo algebraico e integración
Expandimos el binomio $(t - 1)^5$ usando el triángulo de Pascal:
$$ (t - 1)^5 = t^5 - 5t^4 + 10t^3 - 10t^2 + 5t - 1 $$
Sustituyendo en la integral:
$$ \begin{aligned} I &= -\int \left( \frac{t^5 - 5t^4 + 10t^3 - 10t^2 + 5t - 1}{t^3} \right) dt \\ &= -\int \left( t^2 - 5t + 10 - \frac{10}{t} + \frac{5}{t^2} - \frac{1}{t^3} \right) dt \\ &= -\left[ \frac{t^3}{3} - \frac{5t^2}{2} + 10t - 10 \ln|t| - \frac{5}{t} + \frac{1}{2t^2} \right] + C \end{aligned} $$

5. Resultado final
Regresando a la variable original $t = \frac{x-1}{x-2}$:
$$ \boxed{I = -\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^3 + \frac{5}{2}\left(\frac{x-1}{x-2}\right)^2 - 10\left(\frac{x-1}{x-2}\right) + 10 \ln\left|\frac{x-1}{x-2}\right| + \frac{5(x-2)}{x-1} - \frac{(x-2)^2}{2(x-1)^2} + C} $$