1. Datos del problema:
Integral de una función racional con factores lineales repetidos: $x$ de orden 4 y $(2x+1)$ de orden 3.

3. Desarrollo paso a paso:
Utilizamos la descomposición:
$$ \frac{1}{x^4(2x+1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{x^4} + \frac{E}{2x+1} + \frac{F}{(2x+1)^2} + \frac{G}{(2x+1)^3} $$
Resolviendo el sistema de ecuaciones para las 7 constantes:
$D=1$, $C=-6$, $B=24$, $A=-80$.
$G=8$, $F=32$, $E=160$. (Nota: los valores de $A$ y $E$ se cancelan en logaritmos).
$I = \int \left( \frac{-80}{x} + \frac{24}{x^2} - \frac{6}{x^3} + \frac{1}{x^4} + \frac{160}{2x+1} + \frac{32}{(2x+1)^2} + \frac{8}{(2x+1)^3} \right) dx $

Efectuando la integración:
$I = -80\ln|x| - \frac{24}{x} + \frac{3}{x^2} - \frac{1}{3x^3} + 80\ln|2x+1| - \frac{16}{2x+1} - \frac{2}{(2x+1)^2} + C$

4. Resultado final:
$$ \boxed{80\ln\left| \frac{2x+1}{x} \right| - \frac{1}{3x^3} + \frac{3}{x^2} - \frac{24}{x} - \frac{16}{2x+1} - \frac{2}{(2x+1)^2} + C} $$