1. Datos del problema:
Integral que contiene una potencia de la expresión cuadrática $(1+x^2)$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Sustitución trigonométrica: $x = \tan(\theta)$, $dx = \sec^2(\theta) d\theta$.


• Identidad: $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Realizamos el cambio $x = \tan(\theta)$:
$$ I = \int \frac{\sec^2(\theta) d\theta}{\tan^2(\theta) (\sec^2(\theta))^3} = \int \frac{\sec^2(\theta) d\theta}{\tan^2(\theta) \sec^6(\theta)} = \int \frac{d\theta}{\tan^2(\theta) \sec^4(\theta)} $$
Expresando en términos de seno y coseno:
$$ I = \int \frac{\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)} \cdot \cos^4(\theta) d\theta = \int \frac{\cos^6(\theta)}{\sin^2(\theta)} d\theta $$
Usando $\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)$:
$$ \int \frac{(1 - \sin^2(\theta))^3}{\sin^2(\theta)} d\theta = \int \frac{1 - 3\sin^2(\theta) + 3\sin^4(\theta) - \sin^6(\theta)}{\sin^2(\theta)} d\theta $$
$$ I = \int (\csc^2(\theta) - 3 + 3\sin^2(\theta) - \sin^4(\theta)) d\theta $$
Integrando cada término y regresando a la variable $x$ mediante el triángulo:
$\sin(\theta) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, $\cot(\theta) = \frac{1}{x}$.

4. Resultado final:
$$ \boxed{-\frac{1}{x} - \frac{x}{4(1+x^2)^2} - \frac{3x}{8(1+x^2)} - \frac{3}{8}\arctan(x) + C} $$