1. Datos del problema:
Integral de una función racional con parámetros constantes $a$ y $b$, con factores $x$ de orden 3 y $(ax+b)$ de orden 2.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Descomposición en fracciones parciales.


• $\int x^{-n} dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Para simplificar el cálculo, realizamos una sustitución para convertir el binomio en una sola variable:
Sea $u = \frac{ax+b}{x} = a + \frac{b}{x}$. Entonces $du = -\frac{b}{x^2} dx$, lo que implica $\frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{b} du$.
Además, de $u = a + \frac{b}{x}$ despejamos $x = \frac{b}{u-a}$.

La integral original se puede escribir como:
$$ \int \frac{1}{x(ax+b)^2} \cdot \frac{dx}{x^2} $$
Sustituyendo $x$ y $dx/x^2$:
$$ \int \frac{1}{\left(\frac{b}{u-a}\right) \left( a\left(\frac{b}{u-a}\right) + b \right)^2} \left( -\frac{1}{b} \right) du $$

Simplificando el término del denominador: $ax+b = x(a + b/x) = x \cdot u$.
Entonces la integral es:
$$ \int \frac{dx}{x^5 (a + b/x)^2} = \int \frac{1}{x^3 (ax+b)^2} dx $$
Es más directo usar fracciones parciales estándar:
$$ \frac{1}{x^3(ax+b)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x^3} + \frac{D}{ax+b} + \frac{E}{(ax+b)^2} $$

Después de resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes:
$C = \frac{1}{b^2}$, $B = -\frac{2a}{b^3}$, $A = \frac{3a^2}{b^4}$, $D = -\frac{3a^3}{b^4}$, $E = -\frac{a^2}{b^3}$.

Efectuando la integración:
$$ \int \left( \frac{3a^2/b^4}{x} - \frac{2a/b^3}{x^2} + \frac{1/b^2}{x^3} - \frac{3a^3/b^4}{ax+b} - \frac{a^2/b^3}{(ax+b)^2} \right) dx $$
$$ I = \frac{3a^2}{b^4}\ln|x| + \frac{2a}{b^3 x} - \frac{1}{2b^2 x^2} - \frac{3a^2}{b^4}\ln|ax+b| + \frac{a}{b^3(ax+b)} + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{3a^2}{b^4}\ln\left| \frac{x}{ax+b} \right| + \frac{2a}{b^3 x} - \frac{1}{2b^2 x^2} + \frac{a}{b^3(ax+b)} + C} $$